Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

Công thức tính độ dài đường trung tuyến Toán 10 để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp nội dung kiến thức của bài học vềđịnh nghĩa đường trung tuyến trong tam giác, tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều và công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, mời các em học sinh cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé. Chúc các bạn học tập tốt!

1. Đường trung tuyến

- Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó.

- Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Từ đó ta có các đường thẳng BD, AF, CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

2. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

a. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm được gọi là trọng tâm.

- Khoảng cách từ trong tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng $\frac{2}{3}$ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

- Khoảng cách từ trong tâm đến trung điểm mỗi cạnh bằng đường $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC.

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

- Gọi G là giao điểm của các đường thẳng BD, AF, CE suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có các tính chất sau:

$\frac{{CG}}{{CE}} = \frac{{AG}}{{AF}} = \frac{{BG}}{{BD}} = \frac{2}{3}$ $\frac{{CG}}{{CE}} = \frac{{AG}}{{AF}} = \frac{{BG}}{{BD}} = \frac{2}{3}$

$\frac{{GE}}{{CE}} = \frac{{GF}}{{AF}} = \frac{{GD}}{{BD}} = \frac{1}{3}$ $\frac{{GE}}{{CE}} = \frac{{GF}}{{AF}} = \frac{{GD}}{{BD}} = \frac{1}{3}$

b. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

- Đường trung tuyến của tam giác vuông có các tính chất chung của đường trung tuyến trong tam giác thường. Ngoài ra ta có các tính chất đặc trưng sau:

+ Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại C, đường trung tuyến CD

$\begin{matrix} \Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}AB \hfill \\ \Rightarrow CD = AD = DB \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}AB \hfill \\ \Rightarrow CD = AD = DB \hfill \\ \end{matrix}$

+ Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh mà bằng một nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

c. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều

- Trong tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đó và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ:

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

3. Công thức đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = c; AC = b; BC = a, các đường trung tuyến ${m_a};{m_b};{m_c}$ ${m_a};{m_b};{m_c}$

$\begin{matrix} {m_a}^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ {m_b}^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} \hfill \\ {m_c}^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} {m_a}^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ {m_b}^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} \hfill \\ {m_c}^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

4. Bài tập ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC

$\Rightarrow BM = MC = \frac{1}{2}BC = 6$ $\Rightarrow BM = MC = \frac{1}{2}BC = 6$

Áp dụng định lý Pi - ta - go cho tam giác vuông AMC có:

$A{C^2} = A{M^2} + M{C^2} \Rightarrow AM = \sqrt {A{C^2} - M{C^2}} = 8$ $A{C^2} = A{M^2} + M{C^2} \Rightarrow AM = \sqrt {A{C^2} - M{C^2}} = 8$

Ta có: $\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {120^0} \hfill \\ \Rightarrow BC = 2\sqrt {19} \hfill \\ \Rightarrow A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow AM = \sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {120^0} \hfill \\ \Rightarrow BC = 2\sqrt {19} \hfill \\ \Rightarrow A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow AM = \sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

Suy ra BC = 12

Mặt khác:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}} \\ {B{N^2} = \dfrac{{B{C^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = 72} \\ {\dfrac{{A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = 45} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{B^2} = 54} \\ {A{C^2} = 18} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB = 3\sqrt 6 } \\ {AC = 3\sqrt 2 } \end{array}} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}} \\ {B{N^2} = \dfrac{{B{C^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = 72} \\ {\dfrac{{A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = 45} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{B^2} = 54} \\ {A{C^2} = 18} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB = 3\sqrt 6 } \\ {AC = 3\sqrt 2 } \end{array}} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{matrix}$

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Công thức đường trung tuyến Toán 10. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết tổng hợp những công thức đường trung tuyến, khái niệm đường trung tuyến, tính chất đường trung tuyến trong tam giác, kèm theo đó là những ví dụ, bài tập luyện tập có lời giải chi tiết kèm theo. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Ngoài ra, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu liên quan tới chương trình lớp 10: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,... được VnDoc.com sưu tầm và tổng hợp.

Bài tập công thức lượng giác lớp 10
Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Giáo án ôn tập hè môn Toán lớp 10